求双曲螺线rθ=1，圆周r=1,r=3及极轴所围成的较小的区域的面积,答案为2

求双曲螺线rθ=1，圆周r=1,r=3及极轴所围成的较小的区域的面积,答案为2

双曲螺线rθ=1，圆周r=1，r=3及极轴所围成的较小的区域的面积=0.07。

解析：

联立两个方程

r=3cosθ

r=1+cosθ

当两个相等时，3cosθ=1+cosθ

即2cosθ=1，θ=π/3和-π/3

先对心形线在-π/3到π/3的面积求出来，因为上下对称，所以面积是上面一块的两倍

S1=∫[0,π/3](1+cosθ)^2dθ=∫[0,π/3](1+2cosθ+cosθ^2)dθ=π/2+9根号3/8

对于剩下的部分就是圆r=3cosθ,从π/3积分到π/2，仍然上下对称

S2=9∫[π/3,π/2](cosθ)^2dθ=3π/4-9根号3/8

总面积S=S1+S2=3π/4-9根号3/8+π/2+9根号3/8=5π/4

特性

把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果以39位精度的圆周率值，来计算可观测宇宙（observable universe）的大小，误差还不到一个原子的体积。以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年兰伯特证明了圆周率是无理数，1882年林德曼证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。