一共有哪些完美数？

一共有哪些完美数？

，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为“完全数”。第一个完全数是6，第二个完全数是28，第三个完全数是496，后面的完全数还有8128、33550336等等。中文名完全数外文名Perfect number别称完美数或完备数类型特殊的自然数性质1所有的完全数都是三角形数性质2可以表示成连续奇立方数之和定义如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为“完全数”[1] 。各个小于它的约数（真约数,列出某数的约数，去掉该数本身，剩下的就是它的真约数）的和等于它本身的自然数叫做完全数（Perfect number），又称完美数或完备数。例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。第三个完全数是496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。后面的完全数还有8128、33550336等等。特有性质（1）所有的完全数都是三角形数。例如：6=1+2+3；28=1+2+3+...+6+7；496=1+2+3+...+30+31；8128=1+2+3…+126+127。（2）所有的完全数的倒数都是调和数。例如：1/1+1/2+1/3+1/6=2；1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2；1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2。（3）可以表示成连续奇立方数之和。除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。例如：28=13+3^3；496=1^3+3^3+5^3+7^3；8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3；33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3。（4）都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和。不但如此，而且它们的数量为连续质数。例如：6=2^1+2^2；28=2^2+2^3+2^4；496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8；8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12；33550336=2^12+2^13+……+2^24。（5）完全数都是以6或8结尾。如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。（科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。）（6）各位数字辗转式相加个位数是1。除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。例如：28：2+8=10，1+0=1；496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1；8128：8+1+2+8=19，1+9=10，1+0=1；33550336:3+3+5+5+0+3+6=28,2+8=10,1+0=1。（7）它们被3除余1、被9除余1、1/2被27除余1。除6以外的完全数，它们被3除余1，9除余1，还有1/2被27除余1。28/3 商9余1，28/9 商3余1，28/27 商1余1。496/3 商165余1，496/9 商55余1。8128/3 商2709余1，8128/9 商903余1，8128/27 商301余1。历史公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，因为上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。圣·奥古斯丁说：6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实上，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了。图1 毕达哥拉斯在中国文化里：有六谷、六畜、战国时期的六国、秦始皇以六为国数、六常（仁、义、礼、智、信、孝）、天上四方有二十八宿等等，6和28，在中国历史长河中，之所以熠熠生辉，是因为它是一个完全数。难怪生有的学者说，中国发现完全数比西方还早呢。完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。它很久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字。接下去的两个完数看来是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：也许是这样，正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以盈数和亏数非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里只有一个6；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴颈部上，是8128。它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数。但在茫茫数海中，第五个完全数要大得多，居然藏在千万位数的深处！它是33550336，它的寻求之路也更加扑朔迷离，直到十五世纪才由一位无名氏给出。这一寻找完全数的努力从来没有停止。电子计算机问世后，人们借助这一有力的工具继续探索。笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。”时至今日，人们一直没有发现有奇完全数的存在。于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难题。只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条件。疑难问题（1）到底有多少完全数？答：寻找完全数并不是容易的事。经过不少数学家研究，到2013年2月6日为止，一共找到了48个完全数。（2）有没有奇完全数？答：奇怪的是，已发现的48个完全数都是偶数，会不会有奇完全数存在呢？如果存在，它必须大于10^300。至今无人能回答这些问题。尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12^p+1或36^p+9的形式，其中p是素数。在10^300以下的自然数中奇完全数是不存在的。另外，如果存在奇完全数，则它们必能表示p^2*q的形式，除6外的偶完全数亦有此性质。计算方法推导公式大数学家欧拉曾推算出完全数的获得公式：如果p是质数，且2^p-1也是质数，那么（2^p-1）X2^（p-1）便是一个完全数。例如p=2，是一个质数，2^p-1=3也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=3X2=6，是完全数。例如p=3，是一个质数，2^p-1=7也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=7X4=28，是完全数